Matematický důkaz je věčná jistota

Josef Myslín  |  Věda

Pojem důkaz zná patrně každý. Je to slovo, které používáme naprosto běžně, i když patrně v poněkud jiném významu, než o jakém pojednává tento článek.

Důkaz se používá například v justici – například jestliže má být někdo odsouzen za spáchání trestného činu, musí existovat jasný důkaz, který jeho vinu dokládá. Důkazem tedy rozumíme skutečnost (hmotnou či nehmotnou), díky které můžeme jednoznačně potvrdit, že dotyčný čin se stal tak, jak obžaloba předpokládá, a že ho opravdu spáchal obžalovaný.

Pokud takový důkaz nemá obžaloba k dispozici, pak soud dle zásady „in dubio pro reo“ – v případě pochybností ve prospěch obžalovaného, musí zprostit obžalovaného viny pro nedostatek důkazů.

Důkazy se v právu používají nejen v oblasti práva trestního, ale také práva obchodního, občanského a dalších. Jestliže byste například chtěli někoho žalovat o peníze, pak musíte předložit důkaz toho, že na takové peněžní plnění máte ze strany žalovaného opravdu nárok.

Důkaz v přírodních vědách

Jiný význam má pojem důkazu v přírodních vědách. Abychom například přijímali fyzikální teorii jako platnou, musíme k takovému tvrzení mít důkaz. Důkazem tedy rozumíme experimentální ověření toho, že daná teorie opravdu popisuje realitu, že její předpovědi týkající se reality jsou v souladu s tím, co vidíme či měříme.

Albert Einstein

Albert Einstein publikoval svou světoznámou obecnou teorii relativity v roce 1915. Byla to teorie, která představovala průlom ve fyzikálním myšlení. Nebyla totiž pokračováním a upřesněním dosavadních představ o světě kolem nás, ale naopak se stavěla proti všem dosavadním teoriím. Je však pravdou, že dokázala vysvětlit nesrovnalosti dosavadních teorií s pozorováním.

Učinila však také předpovědi nových jevů – takzvaného ohybového efektu, při kterém se světlo vzdálených hvězd ohýbá při cestě kolem velmi hmotného tělesa, takže pozorovatelé vidí tyto vzdálené hvězdy jinde než v případě, že by jejich světlo ohýbáno nebylo. V tomto případě bylo tímto objektem Slunce a připadlo jednomu z nejvýznamnějších vědců té doby, siru Arthuru Eddingtonovi (v té době ještě sirem nebyl, do rytířského stavu byl povýšen až v roce 1930), který odcestoval na Princův ostrov u afrického pobřeží, aby dne 29. května 1919 sledoval zatmění Slunce a dokázal, že světlo hvězd procházející kolem Slunce je opravdu ohnuto. Pečlivá měření velkého vědce byla jasná – předpoklady obecné teorie relativity se ukázaly jako platné. Teorie byla ve fyzikálním smyslu slova dokázaná.

Matematický důkaz

Ukázali jsme si dva významy slova důkaz. Významy, ve kterých toto slovo známe a běžně používáme. Nyní se seznámíme s jiným důkazem – s důkazem matematickým. Ten je zcela jiného charakteru než důkazy dosud popsané. V čem tato odlišnost spočívá? Pojďme se na to podívat.

Řekli jsme si, že pro odsouzení musí mít soud jasný důkaz viny. Přesto se nejednou stalo, že byl odsouzený nevinný člověk. Jak je to možné? Důkazy lze zmanipulovat, důkaz může být získán nepřesnou technikou nebo nepřesným použitím některé techniky, důkaz může být špatně interpretován. Zkrátka a dobře – takový důkaz není absolutní. Není a nemůže být, poněvadž používá metody, které z principu nejsou a nemohou být absolutně přesné.

Podobné je to s důkazem fyzikálním. O Newtonově gravitačním zákonu, předchůdci obecné teorie relativity, si lidé také mysleli, že je přesným popisem přírody. Na to, že tomu tak není, se přišlo dvojím způsobem – jednak přesnějším měřením, jednak měřením v podmínkách, které dosud neznali. A tak je to s jakoukoliv fyzikální či chemickou teorií – ačkoliv všechny pokusy ukazují, že teorie je platná, nemůžeme tvrdit, že je platná absolutně a navěky. Vždy může přesnější měření nebo měření v nových podmínkách ukázat opak. Sebeúspěšnější teorie může být vyvrácena, přičemž neznáme dne ani hodiny.

Důkazem tedy rozumíme pouze potvrzení platnosti ve známých podmínkách za známé přesnosti měření. Tím ovšem není řečeno, že stará teorie musí být bezezbytku zahozena. Může být dále používána v užším způsobem definovaných podmínkách a s omezenou přesností. Tak například pro navigaci letadel nadále používáme Newtonovu mechaniku, stejně jako pro většinu jevů všedního dne. Ale principiálně správná není, jen poskytuje předpovědi s dostatečnou přesností pro většinu aplikací.

Matematický důkaz je ovšem něco zcela jiného. Pokud je proveden korektně, platí navždy. Jednou správně provedený důkaz už nelze vyvrátit. Nikdy. Nijak. Je věčný. A na dokázaném tvrzení lze stavět dál, lze jej používat pro počítání, lze jej používat pro dokazování dalších tvrzení. Matematika totiž využívá aparát daleko silnější než obory, které jsme popsali dříve. Důkazy v justici jsou často ovlivněny lidským faktorem – způsob provádění důkazů může být technicky špatně zvládnut, přiznání může být vynuceno. Některé důkazy jsou založeny na měření – to z principu vykazuje určitou nepřesnost. Ta může být fatální. To platí i pro vědy jako fyzika a chemie.

Matematika ovšem nic neměří, nespoléhá se na lidský faktor. Využívá aparát matematické logiky. Pokud je logika použita správně, jsou její vývody platné. Umírající fyzik nemůže odejít v klidu – hned druhý den může být jeho teorie označena za nesmyslnou. Umírající matematik odchází jako ten, kdo se trvale a nevyvratitelně zapsal do dějin, podařilo-li se mu za života dokázat důležitou či známou matematickou domněnku.

Způsoby vedení důkazů

Existuje více technik, jak důkaz nějakého matematického tvrzení provést. První způsob předpokládá, že na počátku je množina axiomů. Axiomem rozumíme tvrzení, o jehož pravdivosti nepochybujeme, jehož pravděpodobnost prostě předpokládáme jako danou a nemusíme ji dokazovat. Na systému axiomů velmi záleží – různé množiny axiomů vedou k různým matematickým systémům. Kromě axiomů existují i pravidla, která nám určují, jakým způsobem můžeme s axiomy pracovat a odvozovat další tvrzení. Pokud je možné dokazované tvrzení odvodit ze systému axiomů danou množinou operací, můžete takové tvrzení považovat za dokázané. Jde tedy o to, najít posloupnost výrazů typu “jestliže platí A, pak platí B“, takovým způsobem, abychom se postupně dostali od již dokázaného k tomu, co dokazujeme. Takový důkaz označujeme jako důkaz přímý.

Dalším způsobem dokazování, který matematika používá, je důkaz sporem. Na počátku předpokládáme, že námi dokazované tvrzení neplatí. Poté se snažíme (opět na základě množiny axiomů a přípustných operací) negaci dokazovaného tvrzení upravovat do chvíle, kdy se projeví spor s množinou axiomů (či dříve dokázanými větami). Tím dokážeme, že není možné, aby negované tvrzení platilo, protože by tím vznikl spor. A protože díky zákonu vyloučeného třetího není možné, aby existovala další možnost, musí dokazované tvrzení platit.

Zde si uvedeme příklad. Prvočíslo je takové číslo, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Příkladem prvočísla může být například číslo 13. Například, protože počet prvočísel je nekonečný. A to si nyní dokážeme sporem. Předpokládáme, že platí opak námi dokazovaného tvrzení, tedy že počet prvočísel je konečný. Pak můžeme vytvořit číslo m, které bude součinem všech prvočísel zvětšeným o jedničku, tedy bude platit, že

Nyní jsou dvě možnosti. První možností je, že číslo m je prvočíslo. Druhou možností je, že prvočíslem není. Pak ovšem musí být dělitelné některým prvočíslem. Ale nikoliv prvočíslem, které již máme v seznamu, protože takové dělení by vždy skončilo se zbytkem 1. V obou případech jsme došli ke sporu, žádná třetí možnost neexistuje. A jestliže jsme došli ke sporu, negace dokazovaného tvrzení nemůže platit. A proto platí dokazované tvrzení. Poměrně snadné.

Můžeme také využít důkazu indukcí. Zde si ukážeme jednodušší verzi, která je snadno pochopitelná i pro laiky se základními matematickými znalostmi – tímto způsobem můžeme dokazovat tvrzení týkající se přirozených čísel. Matematická indukce má dva kroky.

  • Dokážeme dané tvrzení pro nejmenší přirozené číslo
  • Dokážeme, že platí-li tvrzení pro nějaké číslo m, pak platí i pro číslo o jedna vyšší, tedy m+1

Opět si použití ukážeme na příkladu, tentokrát bude ovšem lehce obtížnější než příklad první. Máme za úkol dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí následující rovnost:

Nejprve musíme dokázat, že tvrzení platí pro nejmenší číslo, o kterém uvažujeme, v tomto případě tedy pro číslo 1. Toto dokázání je snadné – stačí do vztahu číslo 1 dosadit. Rovnost je v takovém případě evidentní. Nyní nás čeká úkol o něco obtížnější, dokázat, že platí-li tvrzení pro číslo m, pak platí také pro m+1. Předpokládáme tedy, že tvrzení platí pro číslo m (toto číslo dosadíme do vzorce).

Ze školní matematiky víme, že rovnost zůstane zachována, pokud k oběma stranám přičteme totéž číslo (toto tvrzení bylo rovněž nutné dokázat, ale my jej budeme považovat za dokázané bez toho, abychom důkaz uváděli). Na základě tohoto tvrzení přičteme k oběma stranám číslo m+1. Dostaneme následující výraz.

Výraz na pravé straně můžeme pomocí elementárních úprav zapsat ve tvaru jednoho zlomku:

Pouze modifikací zápisu pak dostaneme tvar:

Pokud máte jen trošku matematického vidění, pak určitě vidíte, že se jedná přesně o tvar, který jsme potřebovali dostat pro m+1, Dané tvrzení jsme dokázali pro jedničku a poté jsme dokázali, že platí-li tvrzení pro m, pak platí také pro m+1. Nyní vše funguje jako domino. Nemusíme dokázat platnost tvrzení pro všechna myslitelná čísla – těch je nekonečně mnoho. Díky matematické indukci jsme toto tvrzení dokázali v několika krátkých krocích. Existují i další dokazovací metody, ale ty už nejsou tak názorné a intuitivní a vyžadují hlubší znalosti matematiky.

Potřeba důkazu

V předchozích odstavcích jsme velebili sílu důkazu. Řekli jsme si, že řádně dokázané tvrzení je platné navždy. Ale tato zbraň je dvousečná. Dokázané tvrzení je platné do konce věků a univerzálně (v rámci předpokladů). Nedokázané tvrzení je s troškou nadsázky jen babský tlach. Bezcenná informace. Byť by se matematikovi konkrétní tvrzení sebevíc hodilo, pokud není řádně dokázané, nelze s ním dále operovat. Odborně se mu říká domněnka a pro jakoukoliv solidní matematiku (kromě teoretických spekulací typu „co by bylo, kdyby tohle platilo“) je taková domněnka naprosto irelevantní.

Laikovi by se zachtělo říci – no tak ta tvrzení dokážeme a je to. Tady ovšem nastává problém – dokázat mnohá užitečná tvrzení je často pekelně obtížné. Jen některé důkazy lze zpracovat tak snadno jako naše příklady. Důkazy některých základních tvrzení jsou tak obtížné, že trvalo desítky či dokonce stovky let od vyslovení domněnky, než byla tato dokázána. A některé důkazy jsou tak obtížné, že nebyly dokázány. Přitom samo tvrzení může být naprosto elementární. Jako učebnicový příklad lze uvést tzv. Velkou Fermatovu větu. Ta říká následující:

„Neexistují přirozená čísla x, y, z a n, pro která xn + yn = zn, kde n > 2 a x, y, z ≠ 0.“

Jedná se o zobecnění známé Pythagorovy věty s vyšší než druhou mocninou. Ale zatímco tzv. Pythagorejských trojic, tedy trojic přirozených čísel x,y,z, které můžeme do vztahu dosadit, aby rovnost platila, je nekonečně mnoho, pro vyšší mocniny taková trojice přirozených čísel podle této věty neexistuje (věta by se do dokázání měla správně nazývat domněnka).

Některé matematické důkazy jsou tak obtížné, že doposud dokázány nebyly
Některé matematické důkazy jsou tak obtížné, že doposud dokázány nebyly

Konečný důkaz prezentoval Andrew Wiles v roce 1995 a pro laika (i mnohého matematika) by tento důkaz byl jen změtí symbolů. Banální tvrzení (navíc pro matematiku nepříliš užitečné), důkaz odolávající stovky let – Pierre de Fermat, který byl svým povoláním vysoký státní úředník ve Francii, domněnku vyslovil v 17. století (důkaz navíc objevil nové matematické skutečnosti, které se ukazují jako užitečné, na rozdíl od dokazovaného tvrzení). Některá jiná tvrzení na svůj důkaz teprve čekají. A co více, počátkem 20. století významný logik Kurt Gödel vyslovil své slavné věty, které ve zkratce říkají, že existují výroky, které takto dokázat vůbec nepůjde, ačkoliv jsou správné a platné. Skutečný stav je poněkud komplikovanější, nicméně pro ilustraci stavu, ve kterém se matematici nacházejí, to postačuje.

Nejčtenější