Fyzika na víkend: Roztavená střela a led [řešení]

2. 7. 2011  |  M. Lutonský – M. Tůma  |  Věda

Stačí jedna rána. To když střílí dobře vycvičený sniper, vybavený moderní odstřelovačskou puškou s výkonnou municí. Svůj cíl dokáže zasáhnout na vzdálenost, kterou městský člověk za den ani neujde.

Mezi zbraněmi vyniká Barrett M82 a jeho nástupce XM500. Jde o zbraň tak výkonnou, že spadá do kategorie antimateriální puška. Dnešní příklady vám umožní lépe pochopit, s jakými energiemi náboj ráže 12,7 mm – familiárně nazývaná lehká padesátka – pracuje. Když byl na správné straně zbraně kanadský odstřelovač Rob Furlong, střela trefila cíl na vzdálenost 2 430 m a vznikl nový sniperský rekord.

Aby se roztavila

Pro rozcvičení spočítejte, jakou rychlostí musí na pevnou překážku narazit olověný projektil, aby se při nárazu roztavil.

Počáteční teplota projektilu je 20 °C, další potřebné informace si snadno najdete na internetu. Předpokládejte, že se překážka se střelou podělí o kinetickou energii přesně napůl, neuvažujte o ztrátách, tvaru projektilu, o pružnosti apod.

Tavíme led

V druhém příkladu budete počítat se zmíněnou lehkou padesátkou. Úsťová rychlost střely je 823 m/s (třída Sniper Elite), hmotnost kulky 52 g. Napřed zjistěte energii střely po opuštění hlavně. Následně spočítejte, kolik projektilů by bylo nutné vystřelit, aby jejich energie dokázala změnit 0,5 kg ledu o počáteční teplotě –10 °C na vodu s teplotou 40 °C.


Předpokládané řešení, část 1

Údajů pro výpočet rychlosti, kdy se při nárazu roztaví olovo, mnoho nemáme. Nejvíc asi překvapí, že nebyla určena hmotnost střely.

Začněme s úvahou, co se stane s kinetickou energií projektilu, když narazí na překážku. Energie se nemůže ztratit, jen se přemění z kinetické na vnitřní energii. Ta se projeví ohřátím střely a překážky, přičemž ze zadání víme, že každá část si vezme přesně polovinu. Vzorec pro výpočet kinetické energie je známý:

Kinetickou energii, hmotnost ani rychlost střely neznáme. Takže ponechme vzorec vzorcem a na problém se podívejme z druhé strany. Jaká energie (teplo) je potřeba, aby se olovo roztavilo? Musíme sečíst teplo, které střelu ohřeje na teplotu tání, a teplo potřebné pro roztavení olova:

Vzorec počítá s měrnou tepelnou kapacitou c a Wikipedia prozradila, že u olova odpovídá 129 Jkg-1K-1. Proměnná tt je teplota tání olova, dle Wikipedie 600,6 K. Počáteční teplotu t0 známe, jen ji převedeme na Kelviny: 293,15 K. Měrné skupenské teplo tání olova (L)jsme také našli na internetu: 22 600 Jkg-1. Ale opět tam překáží hmotnost.

Víme, že polovina kinetické energie projektilu musí stačit na zvýšení jeho vnitřní energie na hodnotu nutnou k roztavení. Dejme tedy oba vzorce vedle sebe:

Hmotnosti z obou stran rovnice se vykrátí. Znamená to, že na hmotnosti střely v ideálních podmínkách, o kterých uvažujeme, vůbec nezáleží. Z rovnice vyjádříme rychlost:

Všechny tři proměnné známe, takže už stačí jen dosadit:

K tomu, aby se olověný projektil roztavil, musí narazit rychlostí 499 m/s. Jestli jste našli jinou měrnou tepelnou kapacitu a teplotu tání olova, váš výsledek se bude lišit, a přesto může být správný.

Předpokládané řešení, část 2

Pro výpočet kinetické energie střely použijeme stejný vzorec jako v první části. Tentokrát známe všechny proměnné a výsledek je 17 611 J.

Tání ledu má tři fáze, které je nutné spočítat samostatně:

  • Ohřátí ledu z teploty –10 °C (263,15 K) na teplotu tání 0 °C (273,15 K)
  • Další energie je třeba k roztavení celého kusu ledu na vodu
  • Na závěr se ještě musí ohřát voda z 0 °C na 40 °C

1. Ohřátí ledu na teplotu tání

Z Wikipedie jsme zjistili, že led má měrnou tepelnou kapacitu 2 090 Jkg-1K-1.

Aby se půl kila ledu ohřálo z –10 °C na teplotu tání, je třeba dodat mu teplo 10 045 J.

2. Roztavení ledu

Při dodávání tepla nemusí látka neustále zvyšovat svoji teplotu, může také dojít ke změně skupenství, jako v tomto případě. Abychom mohli spočítat vynaloženou energii, potřebujeme znát měrné skupenské teplo tání ledu (L) a opět poradí Wikipedia: 334 000 J/kg.

Aby půlkilogramový kus ledu roztál, musíme mu dodat teplo 167 000 J.

3. Ohřátí vody

Použijeme stejný vzorec jako v první části. Jiná je jen měrná tepelná kapacita vody 4 180 Jkg-1K-1 a vyšší je i rozdíl teplot.

Sečteme všechny tři energie a zjistíme, že pro převedení ledu o teplotě –10 °C do kapalné fáze a následné ohřátí vody na 40 °C je potřeba energie Q = 261 050 J. Výsledek vydělíme energií střely (17 611 J) a zjistíme, že abychom tuto energii získali, bylo by potřeba patnáct výstřelů.

Pro zajímavost: Kdybychom nemuseli měnit skupenství ledu a ohřívali o stejný rozdíl teplot pouze vodu (z 0 °C na 50 °C), stačilo by k tomu teplo 104 500 J a tedy jen šest výstřelů. Změna skupenství spotřebuje hodně energie, řádově víc než ohřívání pevného ledu nebo kapalné vody.

Vzhledem k tomu, že bylo nutné vyhledávat tabulkové hodnoty, které se u každého mohly trochu lišit, tentokrát nevyhlásíme první tři výherce.

Nejčtenější