Fyzika na víkend: Malý princ měří planetu [řešení]

Marek Lutonský  |  Věda

Třetí díl fyzikálního seriálu: Zkuste spočítat poloměr planety, když znáte pouze rozdíl časů mezi západy jejího Slunce.

Malý princ se ocitl na neznámé planetě. Není tak malá jako na známé ilustraci Antoineho de Saint-Exupéryho. Všechny znaky naopak ukazují, že jde o velké těleso srovnatelné například se Zemí. Na planetu svítí hvězda, která připomíná naše Slunce. Planeta se otáčí a jedna otočka den-noc jí trvá 50 pozemských hodin.

Malý princ večer leží na pláži a pozoruje, jak hvězda zapadá. Přesně v okamžiku západu si stoupne a zjistí, že hvězdu opět vidí. S očima o 1 m výš než v ležící poloze (je to opravdu malý princ) trvá ještě 15 s, než hvězda zapadne podruhé.

Jaký má planeta poloměr?

Pro zjednodušení úlohy uvažujte se situací, že hvězda celý den prochází přesně nad hlavou Malého prince, který je na rovníku. Planeta je dokonale kulatá.

Zkuste si situaci nakreslit. Pokud si ani potom nebudete vědět rady, podívejte se do článku později, možná do něj přidáme schéma, z něhož už řešení bude určitě jasné. Ale záleží na tom, kolik do té doby dostaneme správných výsledků. (Oživeno: schéma nakonec přidáme až současně s řešením.)

Možné řešení

Známé proměnné:

  • změna výšky: h = 1 m
  • doba mezi oběma západy hvězdy: t = 15 s
  • perioda rotace planety: tden = 50 h = 180 000 s

Situace s Malým princem, planetou a hvězdou je znázorněna na obrázku, pochopitelně neodpovídá měřítko.

U následujícího řešení jsme se inspirovali učebnicí fyziky, ve které byl podobný příklad zveřejněn. Ukázali jste ale, že výpočet může být mnohem jednodušší, viz doplnění v části „Jednodušší řešení“ dole pod čarou.

Z Pythagorovy věty vyplývá:

A potom platí:

Nyní si můžeme pomoci malým zjednodušením, kterým se vyhneme řešení kvadratické rovnice. Pokud víme, že výška člověka je vzhledem k poloměru celé planety zanedbatelná, nebude mít znatelný efekt ani přičtení hodnoty h2. Můžeme tedy s dostatečně velkou přesností říct, že:

Jako θ označíme úhel, který svírají tečny k planetě v obou bodech pozorování. O stejný úhel se za uvedenou dobu otočí planeta kolem své osy (resp. zdánlivě kolem ní obkrouží její hvězda). Za celý tamní den se pak planeta (hvězda) otočí o 360°. Platí:

Černý trojúhelník na obrázku lze také vyjádřit tímto způsobem:

Protože vzdálenost d2 jsme si na začátku se zjednodušením vyjádřili jako 2rh, můžeme vzorec upravit a pomocí známých proměnných z něj vypočítat žádaný poloměr planety:

Dosadíme známé proměnné:

A známe řešení: Planeta Malého prince má poloměr 7 295 km.

Bez zjednodušení

Co kdybychom na začátku nesáhli ke zjednodušení a ponechali kvadratickou rovnici? Vzorec na výpočet poloměru by potom vypadal takto:

Rozdíl mezi tímto výpočtem (7 295 123,4 m) a zjednodušeným řešením (7 295 123,9 m) je pouze půl metru, tedy 0,000 007 %. Je zřejmé, že s komplikovaným výpočtem kvadratické rovnice se nemusíme trápit.

S variantou r2, kdy diskriminant v kvadratické rovnici odčítáme, není třeba uvažovat. Poloměr planety by u ní vyšel 0,5 m. Dokážete si představit, jak by v takovém případě vypadala pozice planety a Malého prince?

Tento velmi zjednodušený příklad vychází z článku, který se v roce 1979 objevil v časopisu American Journal of Physics. Do podoby, kterou jsme se inspirovali, ho převedli H. Halliday, R. Resnick a J. Walker v učebnici Fyzika, kterou před lety vydalo VUT v Brně.


Mnohem jednodušší řešení

Mezi řešeními, která jste spolu s výsledky psali do formuláře, se objevily elegantnější postupy než z uvedené učebnice fyziky. Vždy je asi nutné začít výpočtem úhlu pootočení planety. Potom ale stačí jednoduchá rovnice:

Úhel a změnu výšky známe, z této rovnice proto stačí jednoduše spočítat neznámou r. Opět vyjde 7 295 km.

Řešitelé

Úloha byla trochu těžší než předchozí. Správnou odpověď uvedlo jen 50 % řešitelů, a to jsme uznali i ty, kteří výsledky psali v metrech. První tři, kteří odeslali správnou odpověď, byli: Scimani, RedC22 a Jan Tomsa (ten se do vítězné trojky dostal už potřetí).

Tip: Stáhněte si tabulku s výpočty ve formátu XLSX.

Nejčtenější