Svět sudých čísel

PAVEL HOUSER  |  Věda
sudá čísla

Také vám nejde do hlavy, kam ti matematici vůbec na ty své vzorečky chodí?

Myslíte si, že někde existuje zvláštní svět, v němž přebývají třeba sudá čísla nebo kubické rovnice? Právě touto otázkou se mj. zabývá obor zvaný filozofie matematiky. Už samotný název působí jistě krajně zvráceně. Převedeno do normálního jazyka to ale znamená, že se zde zabýváme základy matematiky, povahou celého oboru; je to například věda přírodní stojící někde vedle fyziky, jak se nám zdá ze školy? Překvapivé je, že zde vůbec narážíme na nějaký problém. Vždyť s matematikou ve smyslu počítání přijdeme do styku velmi brzy. Schopnosti počítat máme v nějaké míře jistě už v genech, nakonec se to dokážou naučit i některá zvířata. Nejjednodušší, již zmíněná představa říká, že matematika je prostě jen zobecněná fyzika – to, že 2 + 2 = 4, ověříme tak, že na jednu stranu vah dáme 2 a pak ještě 2 jablka a na druhou stranu jablka 4. To by bylo bezproblémové, ale takhle omezená matematika by toho moc nedokázala.

Formalismus

Schopnosti matematiky přitom vyniknou, když do ní zavedeme další, abstraktnější objekty – třeba iracionální čísla (jak chcete kontrolovat na váze výpočet, kde vystupuje Pí -umíte položit na váhu Pí jablek?) nebo i nekonečna – zde se nějaká fyzikální reprezentace a manipulace s takovým objektem stává zcela nemožnou. Takže matematika, alespoň ta ne úplně triviální, nemůže být „přírodní věda“. Co tedy vlastně je? Podle jednoho přístupu je to prostě formální jazyk, ve kterém vytváříme různé modely, jež jsou zase občas dobře upotřebitelné pro náš svět (ale proč vlastně?).

Tomuto střízlivému směru se říká formalismus a vlastně z něj vyplývá, že podstatou matematiky je přesouvání znaků a symbolů podle jistých pravidel sem a tam. Z toho by se skoro zdálo, že matematika je něco jako lingvistika. Úplně uspokojivě to ale nepůsobí, že? Vždyť třeba u Fermatovy věty zkoumáme její platnost/pravdivost, to je asi něco jiného než studovat polynéské jazyky.

Umění

Další názor tvrdí, že matematika je spíše naše kreativní činnost, skoro jako umění, byť ovšem svázaná určitými pravidly (to ale může být i pravidelný verš). Podobně jako u umění má matematika nesporně svou estetiku. Matematické objekty i pravidla podle tohoto směru vytváříme my lidé. Jiné lidské kultury nebo mimozemská civilizace by mohly mít matematiku úplně jinou. Takový názor ovšem zase není úplně uspokojivý. U kultury nám nedělá problém připustit, že je relativní v tom smyslu, že není správnější nosit cylindr než beranici. Matematické pravdy ale podle všeho subjektivní nejsou. Nebo si myslíte, že kdyby se většina lidí domnívala, že Pythagorova věta neplatí, že by opravdu neplatila? A z jiného úhlu pohledu: platila ta věta, než ji někdo poprvé dokázal? Chce se říct, že určitě ano; každopádně se tak dostáváme k další otázce, totiž zda matematici objevují něco, co zde už je, nebo zda vynalézají nové věci.

Matematický platonismus

Je-li však matematika nezávislá na lidech a jejich subjektivních názorech, pak musíme připustit, že zde nějak byla už před lidmi. Ba byla zde i před vesmírem, nebo jaksi mimo něj. Kde by ale potom ty všechny matematické objekty mohly existovat? To už připomíná říši idejí starořeckého filozofa Platona, proto se tomuto směru říká matematický platonismus. To ale vzato důsledně zase působí příliš mysticky. Jednak by takový svět byl ze své podstaty nepřístupný našim smyslům, a do vědy by tedy nepatřil; a navíc matematici jako by s ním možná nějak přicházeli do kontaktu a právě zde nalézali nové formulky. Takže nakonec zpět k původní otázce: myslet si, že existuje svět obývaný druhými odmocninami působí evidentně zvráceně. Nicméně i odmítnutí téhle představy může vést k divným důsledkům a právě v těchto podivnostech se rochní filozofie matematiky. Nakonec by si ale mohli třeba političtí vůdci vzít z matematiků příklad; ač totiž samotní matematici mají na základy svého oboru odlišné názory, přesto se vcelku shodnou, jak by měl obor v praxi fungovat, jaká matematika je dobrá a jaká špatná…

Nejčtenější