Strašidelné matematické klamy

PAVEL HOUSER  |  Věda
klam

Od dnešního dne už nikdy nebudete věřit svému rozumu. Možná jste se setkali s následujícím oříškem. Máme tři karty. Jedna je z obou stran bílá, jedna z obou stran červená a jedna má červenou a bílou stranu. Vzali jsme z balíčku náhodně jednu kartu a vyhodili ji.Dopadla červenou stranou nahoru.Jaká je pravděpodobnost, že jde o oboustranně červenou kartu?

Ne, není to 50 %. Rozebírat to zde nebudeme, tenhle příklad je docela známý. Trochu podobná je následující vychytávka: odměna se skrývá v jedné truhle ze tří, dvě jsou prázdné. Náhodně jednu vybereme a někdo, kdo zná výsledek, pak ukáže na třetí a řekne: tato truhla je prázdná. Nyní máme možnost buď trvat na své původní volbě, nebo raději ukázat na druhou truhličku.

Co je výhodnější? Tahle hádanka je zřejmě ještě záludnější, ale i známější než ta předešlá, používá se dokonce i v televizních soutěžích – takže i zde další analýzu problému pomineme.Raději podrobněji představíme příklad, který používá Leonard Mlodinow v knize The Drunkard’s Walk (Opilcova procházka). Nějaká rodina má dvě děti, jedno z nich je dcera.

Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery? (Předpokládejme, že dcer a synů se rodí po 50 %; úloha je to matematická, ne biologická.) Téměř všichni bez váhání odpovědí, že druhé dítě může být stejně dobře syn jako dcera a pravděpodobnost dvou dcer je tedy 50%. Ale chyba lávkyVe skutečnosti (protože kombinace syn- syn zadání nevyhovuje) mohou být dvě děti nakombinovány takto: dcera- dcera, dcera-syn, syn-dcera.

Dvě dcery se vyskytují v jednom případu ze tří, správná odpověď je tedy 1/3. Úplně se nám nechce tento závěr přijmout. Mate nás asi hlavně to, že „jedno z dětí je dcera“, není totéž jako „první z dětí je dcera“ (tam by pravděpodobnost vycházela vskutku na 50 %). Ale budiž. Následuje ovšem drobná modifikace příkladu, která je už opravdu strašidelná.

Určitá rodina má dvě děti, jedno z nich je dcera jménem Eleonora.Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery? Když už jsme se smířili s předcházejícím případem, zdá se, že i tady je pravděpodobnost 33%, cožpak by specifikace jména mohla něco změnit? A zase špatně.

Nejprve drobné zjednodušení. Pokud je jméno málo běžné, pak můžeme jako zanedbatelnou vyloučit pravděpodobnost, že by rodina měla dvě dcery jménem Eleonora (nehledě k tomu, že rodiče obvykle dávají svým dětem různá jména, aby je od sebe odlišili, a navíc pojmenovat dvě dcery stejně může i zakazovat nějaký předpis). Máme tedy k dispozici následující možnosti, které vyhovují zadání: chlapec-Eleonora, Eleonora-chlapec, Eleonora-jiná dívka, jiná dívka Eleonora. Zadání vyhovují dvě možnosti ze čtyř, pravděpodobnost je náhle 50%. Na jménu záleží.

Rozum se vzpírá. Mlodinow se pokouší výsledek vysvětlit a učinit pro náš rozum přijatelným, ale strašidelnost úlohy tím po pravdě řečeno nemizí.Za pozornost stojí v téhle souvislosti ještě jedna věc. Známe samozřejmě řadu logicko-matematických paradoxů, do nichž se snadno zapleteme, vesměs jde ale skutečně o paradoxy, v nichž se třeba tvrzení vztahuje samo k sobě (výrok „já lžu“ apod.).

Taktéž nám asi nedělá zvláštní problém smířit se s tím, že naše matematická intuice selhává při nakládání s nekonečny (v populární literatuře o matematice jsou třeba oblíbené důkazy toho, že sudých čísel je stejně mnoho jako celých a celých stejně jako racionálních, ovšem reálných už je víc). Na lahůdkách zmíněných v tomto článku je k vzteku ale to, že náš rozum se kousne na „úplně normálních problémech“, které se svým zadáním nijak nevymykají selskému rozumu.

Platí to i pro lidi v matematice poučené: například Paul Erdös, jeden z nejznámějších matematiků 20. století, nechtěl výsledku úlohy s otevíráním truhliček prostě uvěřit a přesvědčil ho až výsledek počítačové simulace.Mlodinow uvádí, že zvlášť snadno se kdovíproč necháme zmást právě v příkladech s pravděpodobnostmi.Asi nezbývá, než se smířit s tím, že obdobně jako lze optickými klamy ošálit náš zrak, existují i klamy matematické ukazující nedokonalost zpracování informací v lidském mozku.

Nejčtenější