7 - 1 matematických problémů, na které nestačíte

Ivan Verner  |  Věda

Matematika je opisována mnoha – tu více, tu méně – přiléhavými definicemi. Někdo tuto královnu věd na základní škole nenáviděl, jiný měl rád. Těch druhých bývalo méně, ale snad nikomu nebyla lhostejná. Když už se ovšem nebojíme potupné pětky nebo netěšíme na další jedničku, protože už školní lavice nenavštěvujeme, situace se radikálně mění. Až na úzký okruh matematiků, kteří se touto vědou zabývají dále, nám lhostejná je.

Byla objevena černá díra ve středu naší Galaxie? Senzace, můžeme se o tom dočíst někdy i na první stránce deníků. Ptačí chřipka opět řádí? No, tohle si dokonce zaslouží palcové titulky. Stejně jako objev zachovalé kostry prehistorického obřího hada… Jsou zkrátka vědecké obory, které své novinky dovedou prezentovat na veřejnosti, a dokonce se o nich potom diskutuje v hospodách. Co ale komu řekne, že byla dokázána Poincarého věta, kterýžto matematik ji vyslovil zhruba před sto lety jako domněnku? To je tak noticka na tři řádky a ještě polovička z toho bude informace o penězích a ocenění, jež řešitel dostal. A lze se i domnívat, že v žádné hospodě, pokud není zrovna za rohem matematické univerzity, nepadne o Poincarého výroku ani slovo. Vždyť co jsou pro nematematika kvantitativní vztahy, prostorové formy, struktury a změny jakýchsi abstraktních pojmů?

Vždyť na matematiku jsou počítače, ne?

Mýlka, počítače na matematiku bohužel nejsou, pouze počítají. S trochou nadsázky lze říci, že matematik může navýsost tvrdě pracovat na gauči, vleže a se zavřenýma očima. Čím se ovšem může dnes zabývat, když všechno už je jasné? Bohužel není a ještě zřejmě dlouho nebude.

Problém? Utopit!

Jak a kdy vznikla matematika? O tom se můžeme jen dohadovat. Zdá se však, že byla první vědou, kterou se člověk zabýval. A první matematickou operací, již musel zvládnout, prý bylo dělení, to kvůli kořisti a spravedlivému podílu na ní. Ať je to pravda či ne, od tohoto momentu byla ke starým Egypťanům, vyměřujícím neustále nějaké pozemky a stavební plány, cesta dlouhá, ale to pořád ještě nebyla matematika jako věda, jednalo se o matematiku aplikovanou. Vědu z ní udělali objevitelé nuly Indové a také Řekové, kteří už nahlédli do hájemství iracionálních čísel a ve jménu světlých zítřků jim přinesli první lidskou oběť.

Byl jí nešťastný mladý elév matematiky, který jejich existenci zjistil při propočtech Pythagorovy věty. Pravidelný a krásný matematický svět se zhroutil. Aby nic z katastrofální myšlenky nevyšlo najevo, byl prý nešťastný objevitel utopen. Místo krásných čísel se na nějaký čas počítalo s body na přímce, na níž bylo možné onu zrádnou odmocninu ze dvou znázornit.

Od prstů k horám

Dlouhá staletí matematika na praktické věci stačila, a tudíž stagnovala; na potřebné operace postačily prsty, popřípadě abakus. Novověk s rozvojem mořeplavby a kartografie, s rozvojem řemesel, přírodovědnými objevy a technickými vynálezy donutil ty, kteří se matematikou zabývali, posunout ji zase o trochu dál. Až do 19. století dokázal vývoj v zásadě sledovat i laik, pak však nastává právě onen přelom, kdy přestává být schopen porozumět abstrakci špičkových matematických teorií. V posledním roce století, tedy roku 1900, pronesl německý matematik David Hilbert na 2. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži přednášku Problémy matematiky, která se zabývala tehdejším posledním vývojem. V přednášce precizoval 23 problémů, které je potřeba vyřešit, aby se tato věda zase dostala dál. Až na jeden, Riemannovu hypotézu, se během minulého století všechny exaktně zadané vyřešit podařilo. Některé byly totiž formulovány natolik nepřesně, že vyřešit nešly, ovšem u těch dalších si každý matematik s jejich rozlousknutím ihned vydobyl proslulost.

Sám David Hilbert získal nesmrtelné zásluhy za to, že zadal vrcholky hor, ke kterým se matematici měli vydat. Ano, vrcholky, protože matematický výzkum je přirovnáván k hledání cesty k vrcholku hory v hustém lese. To v sobě obsahuje bloudění, slepé uličky, a to vše v opakujícím se sledu, dokud mezi vrcholky stromů není možné alespoň na chvilku zahlédnout špičku oné hory. Pak už je „výlet“ snadnější v tom, že putující zná směr. Sama cesta však není o nic jednodušší.

Sedmkrát milion

Riemannova hypotéza zůstala nevyřešena; pro vědu samotnou to bylo jako cíl málo. Aby ani dnešní matematici nemuseli bloudit, přišli o sto let po Hilbertovi v přednáškové síni univerzity College de France v Paříži s podobným vytyčením nových úkolů dva přední světoví matematici, sir Michael Atiyah z Velké Británie a John Tate z USA. Zároveň slíbili, že bude vyplacen jeden milion amerických dolarů té osobě nebo těm osobám, jež se jako první postarají o vyřešení kteréhokoli ze sedmi nejtěžších, nově zadaných matematických problémů, které byly nazvány problémy tisíciletí.

Tato trochu bombastická prohlášení měla jednu výhodu – obrátila k matematice opět zájem veřejnosti, laické na chvíli, odborné budou vytyčené problémy vrtat hlavou ještě hodně dlouho. Oněch slavných sedm problémů vybírala několik měsíců skupina vědců vyzvaných k tomuto účelu radou Clayova matematického ústavu v Cambridge v americkém státě Massachusetts, založeném obdivovatelem matematiky a mecenášem Landonem Clayem. Ten také poskytl oněch sedm milionů dolarů na ceny. Tým vedl zakládající ředitel Clayova matematického ústavu doktor Arthur Jaffe. Riemannova hypotéza přežila neposkvrněna řešením, dalších šest problémů tvořily Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka, Hodgeova domněnka, Navierovy-Stokesovy rovnice, P versus NP, Yangova-Millsova teorie a hypotéza hmotnostních rozdílů a Poincarého domněnka. Jestli jste si začali v naději na milionovou odměnu chystat tužku a papír na první vzorce a grafy, nespěchejte, buďte klidní. Keith Devlin, profesor matematiky na Stanfordově univerzitě a její popularizátor tvrdí, že většina matematických důkazů se už stala natolik komplikovanými, že jejich pravdivost nejsou schopni posoudit ani odborníci. Zcela nečekaně byl ale už jeden z problémů – Poincarého domněnka – vyřešen. Postaral se o to ruský matematik Grigorij Jakovlevič Perelman a dva roky trvalo, než jeho kolegové uznali, že se jim nepodařilo jeho řešení vyvrátit.

Problémy pro třetí tisíciletí

Matematici vyvracejí námitky těch, kteří o téhle vědě nechtějí ani slyšet, tím, že matematika je vlastně jen prostředek, jenž má naučit každého přesně myslet, má být nástrojem výchovy ke správnému a zodpovědnému myšlení. Kvůli počtům samotným se učí jen v první třídě. Jedná se pochopitelně také o kvalitu učitelů. To, co by měli svému žákovi či studentovi dát, je logika i jakási hygiena myšlení – musím nést zodpovědnost za to, že když něco budu tvrdit, tak to taky budu umět prokázat nebo alespoň přijmout protiargumenty. Je nutné si uvědomit, že matematika není věda odtržená od života. Názvy problémů pro třetí tisíciletí sice trochu připomínají některé myšlenky ze sbírky Murphyho zákonů, ale dotýkají se i našeho života.

Kafe a věneček

Poincarého domněnka, která už byla potvrzena, hledala odpověď na zdánlivě triviální otázku – jak rozeznat dva předměty, třeba šálek na kávu a vedle něj ležící žloutkový věneček. Nejde však o rozlišení našimi smysly, to je poměrně jednoduché, nýbrž rozlišení matematické. Pro topologii, což je jedno z mnoha odvětví matematiky, jsou oba objekty stejné. Jsou však pouze ve 3D – co když budeme potřebovat něco vědět o vícedimenzionálních předmětech?

Obecně je Poincarého domněnka popularizována na příkladu, v němž lze jablko obepnout gumičkou (cokoli pružného), a tu poté plynule stáhnout do jednoho jediného bodu, aniž by cokoli bylo porušeno. Totéž nelze provést s gumičkou u toriodu, reprezentovaného třeba oním žloutkovým věnečkem, či pro představivost lépe pneumatikou. Riemannova hypotéza, problém přetrvávající z konce 19. století, se týká prvočísel a jejich struktury, rozložení. Lze v něm vysledovat nějakou pravidelnost? A když, v oblasti jak vysokých čísel? Řešení údajně prospěje mimo jiné vývoji komunikačních a hlavně kryptografických technologií; zároveň se však někteří obávají, že dekódování jakékoli informace bude jeho vinou usnadněno. Yangova-Millsova teorie pracuje s rovnicemi, které byly použity k definování sil v přírodě s výjimkou gravitace, tedy kvantové mechaniky. V praxi vše funguje, teorie však nebyla dopracována. Měla by vysvětlovat mimo jiné to, proč má elektron hmotnost.

Navierovy-Stokesovy rovnice se týkají zase pohybu kapalin a plynů. Zatímco technici mohou a také dovedou vyrobit křídla letadel nebo lodní šrouby, matematická teorie za praxí pokulhává. Problém nazvaný P versus NP se týká řešení úloh, které mohou být v reálném čase řešeny počítačem a které nikoli (protože by to i při miliardách operací za sekundu trvalo miliony let), a úloh, které se zdánlivě pohybují mezi tím. Kam vlastně patří?

Mosty v Královci

Sem náleží proslulá úloha se sedmi mosty v Královci, jež je potřeba přejít jen jednou. Není to jen hříčka. V současnosti řeší logistika i obchod problém, jak určitou trasu projít co nejúsporněji. Při deseti různých zastávkách si můžeme vystačit možná ještě se selským rozumem, při stovce i větším počtu (což je u nadnárodních firem běžné) můžeme spotřebovat roky a roky počítačového času. Problém Birchovy a Swinnerton-Dyerovy domněnky se blíží obecné matematice, protože se zaobírá rovnicemi typu xn + y n = z n pro „n“ větší než dvě a jejich celočíselným řešením. Opět zde bude kladný výsledek příspěvkem k teorii prvočísel. Topologie se týká zase Hodgeova domněnka, k jejímuž, byť i obecnému, vysvětlení může přistoupit snad jen desítka lidí na světě, ovšem posluchače musí tato desítka hledat zase jenom mezi sebou.

V zásadě se na tento problém narazilo při matematickém vyjádření velice složitých objektů. Postup, při němž byl objekt jaksi „vyplňován“ tvary jednoduššími, známými „tvárnicemi“, má při svém zobecňování také určitá omezení. Abychom je překonali, je nutno si vypomoci tvary geometricky nedefinovanými. Ale dost, je nutno přiznat, že autor těchto řádků si musel vzít prášky na uklidnění…

Díry, sýr a mravenec

Jestliže vás zatím matematika neodradila, zapřemýšlejte si třeba nad ementálem. Ementál je sýr s dírami. Čím více děr, tím méně sýra máme. Ovšem čím více sýra si ukrojíme, tím získáme i více děr. Tedy čím více sýra, tím méně sýra. Je to tak? Teď je ovšem potřeba vše vyjádřit matematicky. Jiné zábavné problémy má na svědomí například topologie, jakási „supergeometrie“. Proslulé jsou v tomto ohledu Möbiova páska nebo Kleinova láhev. Möbiova páska je prostorový útvar s jednou stranou, Kleinova láhev zase představuje prostorový „dutý“ útvar, u něhož nelze určit, co je vně a co uvnitř, a neohraničuje tak žádný prostor. Anebo Langtonův mravenec. Je to virtuální tvor pohybující se v síti čverců. Vstoupí- li na bílý, přebarví ho a zahne doleva. Dostane-li se na černý, přebarví ho nabílo, a zahne doprava. Po deseti tisících krocích se z chaotické cesty stane složitá, ale organizovaná a pravidelná struktura. Se vším si vyhrajete. Stačí jen ležet na gauči.


Jak se stát slavným

Jestliže jste byť i jen na chvilku zatoužili po tom užít si pověsti slavného matematika alespoň mezi přáteli, máme pro vás námět. Je to jednoduché. Vezmete jakékoli třímístné číslo, jehož první a poslední číslice se liší. Převrátíte ho a menší odečtete od většího. S výsledkem naložíte obdobně, jenže teď budete převrácenou hodnotu přičítat. Výsledné číslo bude při správném postupu vždy stejné. A aby to nebylo všechno, vyzkoušejte si jeho magické vlastnosti ještě jinak. Vynásobte ho postupně jednou až devíti a pište si výsledky pod sebe. Zajímavé, že?

Gríša všechny převezl

Gríša

Mezi odborníky se už po třech letech od vyhlášení takzvaných problémů pro třetí tisíciletí hovořilo o tom, že jeden ze sedmi oříšků byl rozlousknut. Tím úspěšným měl být Grigorij „Gríša“ Jakovlevič Perelman, osmatřicetiletý matematik z Petrohradu, a oříškem pak Poincarého domněnka. Matematici jsou ovšem opatrní a jejich doménou je exaktní důkaz. Mají pravdu. Rok předtím vyvolal menší pozdvižení jiný matematik, emeritní profesor Southamptonské univerzity, pětašedesátiletý Martin Dunwoody. Jeho kolegové mu důkazy vyvrátili. V případě Perelmana to zkoušeli dva roky. Bezvýsledně. Mladý matematik měl dostat Fieldsovu cenu (obdoba Nobelovy) a k tomu milion dolarů z Clay Mathematics Institute, ale nejevil k tomu příliš chuti. Nenechal se přemluvit ani šéfem matematické mezinárodní instituce, sirem Johnem Macleodem Ballem, který si pro něj osobně přijel. Podle některých byl mladý matematik uražen, že si na něj nevzpomněli při jmenování kolegia tamějšího matematického institutu, jeho přátelé zase říkají, že je uzavřený a že mu stačilo uznání. Znalci tamních poměrů vysvětlují, že vlastnit milion dolarů se rovná žádosti o více či méně bolestnou eutanazii a Gríša si vše dobře spočítal.

Nula od nuly pojde

Tohle úsloví zná každý, a přitom si ani neuvědomí, že vlastně vyjadřuje jednu ze základních operací s tímto zvláštním číslem: násobení nulou má jako výsledek nulu. Nula je opravdu zvláštní a trvalo dlouho, než na ni matematici vůbec přišli, a ještě déle, než s ní začali pracovat a uvádět ji do života. Následky opomenutí pociťujeme dodnes například při počítání letopočtu. Kterým rokem začalo třetí tisíciletí, rokem 2000, nebo 2001? Problémy ovšem činí i matematikům. Vypráví se anekdota o slavném polském matematikovi Waclawu Franciszkovi Sierpinském, jenž se proslavil v oboru teorie množin a topologii (některé jednodušší fraktály po něm nesou jméno), že cestoval s manželkou vlakem a na nástupišti ji vyděsil tvrzením, že někde nechali jedno zavazadlo. Manželka byla na myšlenkové postupy svého muže zvyklá a uklidňovala ho, že všech šest kufrů mají v pořádku při sobě. Sierpinski ovšem její počty neakceptoval: „Žádných šest, několikrát jsem je přece počítal – nula, jedna, dva, tři čtyři, pět!“

Nejčtenější